StatPk

Valeurs numeriques

”planck cosmo”: from https://arxiv.org/pdf/1510.07600
Les \(\Omega_{i}\) = aujourd’hui.

\begin{align} H_{0} & =68 & h & =0.68 \\ \Omega_{b}h^{2} & =0.022 & \Omega_{b} & =0.05 \\ \Omega_{c}h^{2} & =0.119 & \Omega_{c} & =0.26 \\ \Omega_{m}h^{2} & =0.141 & \Omega_{m} & =0.31 \\ \Omega_{\gamma}h^{2} & =2.47~{}10^{-5} & \Omega_{\gamma}= & 5.34~{}10^{-5} \\ \Omega_{r}h^{2} & =4.15~{}10^{-5} & \Omega_{r} & =9.10^{-5} \\ \Omega_{\nu}^{(m)}h^{2} & =m(\rm{eV})/93.1 & m=0.06eV \\ n_{s} & =0.965 \\ \tau & =0.06 \\ \ln 10^{10}A_{s}(@k_{0}=0.05) & =3.05 & A_{s} & =2.11~{}10^{-9} \\ \sigma_{8}(z=0) & =0.81\\ \end{align}

avec \(\Omega_{\gamma}=\dfrac{\rho_{\gamma}}{\rho_{c}}\) et \(\rho_{\gamma}=\dfrac{\pi^{2}}{15}\dfrac{(k~{}T_{CMB})^{4}}{(\hbar c)^{3}}\)

\begin{align} \rho_{c}h^{-2}=1.05~{}10^{4}eV.cm^{-3} \\ T_{CMB}=2.725K \\ k=8.6~{}10^{-5}eV.K^{-1} \\ \hbar c=1.97~{}10^{-5}eV.cm\\ \end{align}

et \(\rho_{r}=[1+\dfrac{7}{8}\left(\dfrac{4}{11}\right)^{4/3}N_{eff}]\rho_{\gamma}=1.68\rho_{\gamma}\)

Cosmologie de base

FRW

\begin{align} H(z)=H_{0}~{}E(z)\\ \end{align}

avec
LDM:

\begin{align} E(z)=\sqrt{\Omega_{r}(1+z)^{4}+\Omega_{m}(1+z)^{3}+(1-\Omega_{r}-\Omega_{m})}\\ \end{align}

RD

\begin{align} a(t) & \propto t^{1/2} \\ H(t) & =\dot{a}/a=1/t \\ R_{H} & =H^{-1}=c~{}t\\ \end{align}

MD

\begin{align} a(t) & \propto t^{3/2} \\ H(t) & =\dot{a}/a=1/t \\ R_{H} & =H^{-1}=c~{}t\\ \end{align}

Egalite matiere/radiation (Lith-Liddle p63)

\begin{align} \dfrac{a_{0}}{a_{eq}} & =1+z_{eq}=\dfrac{\Omega_{m}}{\Omega_{r}}=2.41~{}10^{4}\Omega_{m}h^{2}\simeq 3300 \\ \dfrac{a_{eq}H_{eq}}{a_{0}H_{0}} & =\sqrt{2\Omega_{m}z_{eq}}=220\Omega_{m}h=43 \\ (a_{eq}H_{eq})^{-1} & =\dfrac{13.6}{\Omega_{m}h^{2}}\simeq 100Mpc\\ \end{align}

le dernier est le rayon de Hubble comobile.

Longueur de Jeans (Pastor-Lesgourgues)

\begin{align} \lambda_{J}(a) & =2\pi\sqrt{2/3}\dfrac{c_{s}}{H(a)} \\ k_{J}(a) & =2\pi\dfrac{a}{\lambda_{J}(a)}\\ \end{align}

le facteur \(\sqrt{2/3}\) me parait suspect…

vitesse du son (legourgues p214)

\begin{align} c_{s}(z)=\dfrac{c}{\sqrt{3(1+R(z))}}\\ \end{align}

avec

\begin{align} R(z) & =\dfrac{3\rho_{b}(z)}{4\rho_{\gamma}(z)}\notag \\ & =30\Omega_{b}h^{2}\dfrac{1000}{z}\simeq 0.67~{}1000/z\\ \end{align}

distance comobile sur la ligne de visee en \(z_{0}\)

\begin{align} \chi(z_{0})=\dfrac{c}{H_{0}}\int_{0}^{z_{0}}dz/E(z)\\ \end{align}

avec cosmo ”planck”

Distance comobile le long de la ligne de visee avec la cosmo planck

Zoom lineaire (cosmo Planck)

distance comobile entre 2 evts au meme redshift:

\begin{align} r_{c}=D_{M}(z_{0})\theta\\ \end{align}

\(D_{M}=\)distance comobile transverse entre 2 evts au meme redshift. Pour un univers plat \(D_{M}=\chi\)

Distance de diametre angulaire = taille physique transverse/taille angulaire \(r_{phys}=D_{A}\theta\)

\begin{align} D_{A}(z)=\dfrac{\chi(z)}{1+z}\\ \end{align}

Auto-correlation et spectre de puissance

Un champ aleatoire \(\delta(\vec{x})\) est homogène si ca fonction de corrélation à 2 points:

\begin{align} \langle\delta(\vec{x}_{1})\delta(\vec{x}_{2})\rangle\equiv\ \xi(\vec{x}_{1},\vec{x}_{2})=\xi(\vec{r}_{12})\\ \end{align}

et isotrope si

\begin{align} \xi(\vec{r}_{12})=\xi(r_{12})\\ \end{align}

Le spectre de puissance est la TF de son auto-correlation . C’est aussi \(\langle|\delta(k)|^{2}\rangle\). Ne depend que de \(k\) si \(\xi(r)\).

\begin{align} \xi(r) & =\dfrac{1}{(2\pi)^{3}}\iiint d^{3}ke^{i\vec{k}\dot{\vec{r}}}P(\vec{k})\notag \\ & =\dfrac{1}{(2\pi)^{3}}\int d\phi\int k^{2}dkP(k)\int e^{ikr\cos{\theta}}d\cos{\theta}\notag \\ & =\dfrac{1}{2\pi^{2}}\int dk~{}k^{2}P(k)\dfrac{\sin kr}{kr}\\ \end{align}

Inversement

\begin{align} P(k)=4\pi\int dr~{}r^{2}\xi(k)\dfrac{\sin kr}{kr}\\ \end{align}

La variance totale peut s’écrire:

\begin{align} \sigma^{2}=\xi(0) & =\int\dfrac{dk}{k}\dfrac{k^{3}P(k)}{2\pi^{2}} \\ & =\int d\ln{k}\Delta^{2}(k)\\ \end{align}

ou \(\Delta^{2}(k)\equiv\dfrac{k^{3}P(k)}{2\pi^{2}}\) est sans dimension et reprensente la contribution a la variance en log.

Variance de masse et champ filtre:

\begin{align} \sigma^{2}(R) & =\dfrac{(M-\bar{M})^{2}}{\bar{M}^{2}} \\ & =\dfrac{1}{2\pi^{2}}\int_{0}^{\infty}k^{2}P(k)W^{2}(kR)dk\\ \end{align}

TOPHAT

\begin{align} \bar{M} & =\dfrac{4}{3}\pi R^{3}\bar{\rho} \\ W(x) & =\dfrac{3j_{1}(x)}{x}=\dfrac{3(\sin x-x\cos x)}{x^{3}}\\ \end{align}

GAUSS

\begin{align} \bar{M} & =4\pi\int_{0}^{\infty}r^{2}W(r)dr=4\pi\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}R^{3} \\ W(x) & =e^{-x^{2}/2}\\ \end{align}

Pour avoir le meme \(\bar{M}\) il faut que

\begin{align} R_{G}=0.64R_{TH}\\ \end{align}

\label{fig:winows}Fenetres Tophat (bleue), Gaussienne (jaune, rescalee selon Eq.\ref{eq:gtoth}), Sinc (vert)

Spectre invariant d’echelle

Champs de matiere et galaxies

Echantilonnage discret d’un champ continu

Gaussianite du champ

Spectre de puissance P(k)

Forme du spectre

cf note cours de S. Bridle https://owncloud.lal.in2p3.fr/index.php/apps/files/ajax/download.php?dir=%2Fnotes&files=cmb_lss_sbridlle.pdf

  • au ”debut” (inflation) \(P_{m}(k)\propto k\) car \(\delta_{m}(k)\propto k^{2}\Phi(k)\), \(<|\Phi(k)|^{2}>=\Delta^{2}_{\Phi}\propto k^{n_{s}-1}\simeq 1\) et \(P_{\Phi}(k)\propto\dfrac{\Delta^{2}}{k^{3}}\)

  • periode RD: en dessous de \(k_{J}\) modes au-dela de l’horizon \(\to\) tous les modes amplifies/ au dessus presque pas (en \(\ln k\)) a cause de la radiation

  • \(k_{j}=\dfrac{a}{\lambda_{J}}\propto a.H\propto t^{-1/2}\) durant RD. Donc \(k_{J}(t)\) \(\searrow\)

  • arrive a l’egalite (donc \(k_{eq}\) plus d’ondes sonores \(\to\) tout le spectre amplifie

donc \(P(k)\propto k\) en dessous de \(k_{eq}\) et \(T^{2}(k).P(k)\propto k^{-3}\ln^{2}k\) au dessus

dans la cosmo planck:

\begin{align} z_{eq}\simeq 3400 \\ z_{CMB}\simeq 1100 \\ z_{drag}\simeq 1050\\ \end{align}

egalite:

\begin{align} k_{eq}=aH_{eq}=\dfrac{H(z_{eq})}{c(1+z_{eq})}=0.01Mpc^{-1}\\ \end{align}

BAO:
distance comobile parcourue par le son jusqu’au drag (\(z_{d}=1059\))

\begin{align} s\equiv r_{s}(z_{d})=\dfrac{1}{H_{0}}\int_{z_{d}}^{\infty}c_{s}(z)/E(z)~{}dz=147Mpc\\ \end{align}

Distance comobile au drag: \(\chi(z_{d})=14000Mpc\) donc \(\theta_{s}=\dfrac{s}{\chi(z_{d})}\simeq 0.6^{\circ}\)

Different de l’echelle causale du CMB:

\begin{align} \theta_{CMB}=\dfrac{c/H_{0}\int_{z_{d}}^{\infty}1/E(z)~{}dz}{\chi(z_{d})}=\dfrac{289}{14000}=1.2^{\circ}\\ \end{align}

la difference vient du facteur \(\sqrt{3}\) et de \(R(z)\) dabs \(c_{s}(z)\)

Dans un modele simplifie \(\xi(r)=\delta(r-s)\) l’impact sur le spectre est

\begin{align} P(k)\propto\int_{0}^{\infty}dr~{}r^{2}\xi(r)sin_{c}(kr)=s^{2}sin_{c}(ks)\\ \end{align}

donc les creux/bosses sont a peu pres situes \(m\pi/(2s)\) avec m=3,5,7.. (sans neutrinos massifs, lensing …). Une analyse plus fine montre que ce n’est pas exactement le cas.

\label{fig:pklog}Spectre P(k) linaire avec la cosmo planck (sans neutrinos massifs) avec la position de \(k_{eq}\) et la prevision des creux/pics BAO

\label{pk_peaks}Position des pics BAO une cosmo a \(z=0.8\) (sans neutrinos massifs, lensing) . En haut on divise par le spectre obtenu avec \(\omega_{b}\simeq 0(0.004)\): les traits pleins representent la position des maximas et les pointilles les harmoniques de \(s=r_{s}(z_{d})\). En dessous on essaye de retrouver les maximas en soustrayant un spectre smooth: soit obtenu par spline, soit par la formule ”no_osc” implementee dans SimLSS.

Evolution en z , facteur de croissance

\begin{align} \delta(k,z) & \propto k^{2}\Phi(k)D(z) & MD \\ & \propto\Phi(k)D(z) & RD\\ \end{align}

avec \(k^{3}<\Phi^{2}(k)>\simeq 1\) (HZ)on retrouve la forme du \(P(k)\) et sa dependance en z:

\begin{align} P(k,z)=P(k)D^{2}(z)\\ \end{align}

\(D\) (=\(G\)!!!) est le (linear) growth factor. Comem durant MD \(D(a)\simeq a\) mais que \(\Lambda\) detruit un peu le clustering, on aime bien aussi utiliser

\begin{align} g(a)=\dfrac{\delta_{m}}{a}=\dfrac{D(a)}{a}\\ \end{align}

\(g\) doit tendre vers 1 dans la MD et vaut \(\simeq 0.8\) en LCDM aujour’dhui (mais on normalise des fois a 1) Pour LCDM on a (Dodelson)

\begin{align} D(a)=\dfrac{5}{2}\Omega_{m}E(a)\int_{0}^{a}\dfrac{da^{\prime}}{\left(a^{\prime}E(a^{\prime})\right)^{3}}\\ \end{align}

Le (logarithmic) grow rate:

\begin{align} f & =\dfrac{d\ln D}{d\ln a} \\ & \simeq\Omega_{m}(a)^{\gamma}\\ \end{align}

ou \(\gamma\) est le growth index.. Attention ici

\begin{align} \Omega_{m}(a)=\Omega_{m}a^{-3}/E^{2}(a)\\ \end{align}

Pour la GR \(\gamma\simeq 0.55\) et est assez independant des parametres. donc

\begin{align} g(a)=e^{\int_{0}^{a}da/a[\Omega_{m}(a)^{\gamma}-1]}\\ \end{align}

Comme en MD \(D(z)\propto\dfrac{1}{1+z}\) , \(f\) est de l’ordre de 1

\label{fig:pkz}Evolution de P(k,z) pour la cosmo planck avec \(\Omega_{m}=0.31\). On a \(P(k,z)=\left(\dfrac{D(z)}{D(0)}\right)^{2}P(k)\). C’est aussi \(\left(\dfrac{\sigma_{8}(z)}{\sigma_{8}(z=0)}\right)^{2}\). La ligne pointillee represente \(1/(1+z)^{2}\)

\label{fig:gz}Evolution du growth factor sans la dependance en redshift, donc \(g^{2}(z)=(1+z)^{2}D^{2}(z)\) pour cosmo planck. Il tend vers 1 quand on arrive dans le regime MD.

\label{fig:fz}Evolution du growth rate en cosmo Planck (formule de Linder)

Avec cosmo planck (par class sans neutrinos massifs)

z \(\sigma_{8}\) f f\(\sigma_{8}\)
0 0.83 0.52 0.43
0.5 0.64 0.75 0.48
1 0.51 0.87 0.44
1.5 0.42 0.93 0.39
2 0.35 0.96 0.34

Pour les grands \(z\) , \(f\rightarrow 1\) et \(\sigma_{8}(z)/\sigma_{8}(0)\rightarrow\dfrac{1}{1+z}\)

Effet des neutrinos massifs

\begin{align} \Omega_{\nu}h^{2} & =\dfrac{m_{\nu}(eV)}{93.14} \\ f_{\nu} & =\dfrac{\Omega_{\nu}h^{2}}{\Omega_{M}h^{2}}\simeq\dfrac{m_{\nu}}{12}\\ \end{align}

Transition NR

\begin{align} 1+z_{NR}=1800m_{\nu}(eV)\\ \end{align} \begin{align} \dfrac{P(k)^{\nu}}{P(k)^{f\nu=0}}\simeq-8f_{\nu}\\ \end{align}

Spectre non lineaire

\label{fig:pknl}spectre lineaires (pontilles) et NL (halofit) selon cosmo planck (avec neutrinos massifs). boite=redshifts

RSD

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