# StatPk

## Valeurs numeriques

”planck cosmo”: from https://arxiv.org/pdf/1510.07600
Les $$\Omega_{i}$$ = aujourd’hui.

\begin{align} H_{0} & =68 & h & =0.68 \\ \Omega_{b}h^{2} & =0.022 & \Omega_{b} & =0.05 \\ \Omega_{c}h^{2} & =0.119 & \Omega_{c} & =0.26 \\ \Omega_{m}h^{2} & =0.141 & \Omega_{m} & =0.31 \\ \Omega_{\gamma}h^{2} & =2.47~{}10^{-5} & \Omega_{\gamma}= & 5.34~{}10^{-5} \\ \Omega_{r}h^{2} & =4.15~{}10^{-5} & \Omega_{r} & =9.10^{-5} \\ \Omega_{\nu}^{(m)}h^{2} & =m(\rm{eV})/93.1 & m=0.06eV \\ n_{s} & =0.965 \\ \tau & =0.06 \\ \ln 10^{10}A_{s}(@k_{0}=0.05) & =3.05 & A_{s} & =2.11~{}10^{-9} \\ \sigma_{8}(z=0) & =0.81\\ \end{align}

avec $$\Omega_{\gamma}=\dfrac{\rho_{\gamma}}{\rho_{c}}$$ et $$\rho_{\gamma}=\dfrac{\pi^{2}}{15}\dfrac{(k~{}T_{CMB})^{4}}{(\hbar c)^{3}}$$

\begin{align} \rho_{c}h^{-2}=1.05~{}10^{4}eV.cm^{-3} \\ T_{CMB}=2.725K \\ k=8.6~{}10^{-5}eV.K^{-1} \\ \hbar c=1.97~{}10^{-5}eV.cm\\ \end{align}

et $$\rho_{r}=[1+\dfrac{7}{8}\left(\dfrac{4}{11}\right)^{4/3}N_{eff}]\rho_{\gamma}=1.68\rho_{\gamma}$$

## Cosmologie de base

FRW

\begin{align} H(z)=H_{0}~{}E(z)\\ \end{align}

avec
LDM:

\begin{align} E(z)=\sqrt{\Omega_{r}(1+z)^{4}+\Omega_{m}(1+z)^{3}+(1-\Omega_{r}-\Omega_{m})}\\ \end{align}

RD

\begin{align} a(t) & \propto t^{1/2} \\ H(t) & =\dot{a}/a=1/t \\ R_{H} & =H^{-1}=c~{}t\\ \end{align}

MD

\begin{align} a(t) & \propto t^{3/2} \\ H(t) & =\dot{a}/a=1/t \\ R_{H} & =H^{-1}=c~{}t\\ \end{align}

\begin{align} \dfrac{a_{0}}{a_{eq}} & =1+z_{eq}=\dfrac{\Omega_{m}}{\Omega_{r}}=2.41~{}10^{4}\Omega_{m}h^{2}\simeq 3300 \\ \dfrac{a_{eq}H_{eq}}{a_{0}H_{0}} & =\sqrt{2\Omega_{m}z_{eq}}=220\Omega_{m}h=43 \\ (a_{eq}H_{eq})^{-1} & =\dfrac{13.6}{\Omega_{m}h^{2}}\simeq 100Mpc\\ \end{align}

le dernier est le rayon de Hubble comobile.

Longueur de Jeans (Pastor-Lesgourgues)

\begin{align} \lambda_{J}(a) & =2\pi\sqrt{2/3}\dfrac{c_{s}}{H(a)} \\ k_{J}(a) & =2\pi\dfrac{a}{\lambda_{J}(a)}\\ \end{align}

le facteur $$\sqrt{2/3}$$ me parait suspect…

vitesse du son (legourgues p214)

\begin{align} c_{s}(z)=\dfrac{c}{\sqrt{3(1+R(z))}}\\ \end{align}

avec

\begin{align} R(z) & =\dfrac{3\rho_{b}(z)}{4\rho_{\gamma}(z)}\notag \\ & =30\Omega_{b}h^{2}\dfrac{1000}{z}\simeq 0.67~{}1000/z\\ \end{align}

distance comobile sur la ligne de visee en $$z_{0}$$

\begin{align} \chi(z_{0})=\dfrac{c}{H_{0}}\int_{0}^{z_{0}}dz/E(z)\\ \end{align}

avec cosmo ”planck”

Distance comobile le long de la ligne de visee avec la cosmo planck

Zoom lineaire (cosmo Planck)

distance comobile entre 2 evts au meme redshift:

\begin{align} r_{c}=D_{M}(z_{0})\theta\\ \end{align}

$$D_{M}=$$distance comobile transverse entre 2 evts au meme redshift. Pour un univers plat $$D_{M}=\chi$$

Distance de diametre angulaire = taille physique transverse/taille angulaire $$r_{phys}=D_{A}\theta$$

\begin{align} D_{A}(z)=\dfrac{\chi(z)}{1+z}\\ \end{align}

## Auto-correlation et spectre de puissance

Un champ aleatoire $$\delta(\vec{x})$$ est homogène si ca fonction de corrélation à 2 points:

\begin{align} \langle\delta(\vec{x}_{1})\delta(\vec{x}_{2})\rangle\equiv\ \xi(\vec{x}_{1},\vec{x}_{2})=\xi(\vec{r}_{12})\\ \end{align}

et isotrope si

\begin{align} \xi(\vec{r}_{12})=\xi(r_{12})\\ \end{align}

Le spectre de puissance est la TF de son auto-correlation . C’est aussi $$\langle|\delta(k)|^{2}\rangle$$. Ne depend que de $$k$$ si $$\xi(r)$$.

\begin{align} \xi(r) & =\dfrac{1}{(2\pi)^{3}}\iiint d^{3}ke^{i\vec{k}\dot{\vec{r}}}P(\vec{k})\notag \\ & =\dfrac{1}{(2\pi)^{3}}\int d\phi\int k^{2}dkP(k)\int e^{ikr\cos{\theta}}d\cos{\theta}\notag \\ & =\dfrac{1}{2\pi^{2}}\int dk~{}k^{2}P(k)\dfrac{\sin kr}{kr}\\ \end{align}

Inversement

\begin{align} P(k)=4\pi\int dr~{}r^{2}\xi(k)\dfrac{\sin kr}{kr}\\ \end{align}

La variance totale peut s’écrire:

\begin{align} \sigma^{2}=\xi(0) & =\int\dfrac{dk}{k}\dfrac{k^{3}P(k)}{2\pi^{2}} \\ & =\int d\ln{k}\Delta^{2}(k)\\ \end{align}

ou $$\Delta^{2}(k)\equiv\dfrac{k^{3}P(k)}{2\pi^{2}}$$ est sans dimension et reprensente la contribution a la variance en log.

Variance de masse et champ filtre:

\begin{align} \sigma^{2}(R) & =\dfrac{(M-\bar{M})^{2}}{\bar{M}^{2}} \\ & =\dfrac{1}{2\pi^{2}}\int_{0}^{\infty}k^{2}P(k)W^{2}(kR)dk\\ \end{align}

TOPHAT

\begin{align} \bar{M} & =\dfrac{4}{3}\pi R^{3}\bar{\rho} \\ W(x) & =\dfrac{3j_{1}(x)}{x}=\dfrac{3(\sin x-x\cos x)}{x^{3}}\\ \end{align}

GAUSS

\begin{align} \bar{M} & =4\pi\int_{0}^{\infty}r^{2}W(r)dr=4\pi\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}R^{3} \\ W(x) & =e^{-x^{2}/2}\\ \end{align}

Pour avoir le meme $$\bar{M}$$ il faut que

\begin{align} R_{G}=0.64R_{TH}\\ \end{align}

\label{fig:winows}Fenetres Tophat (bleue), Gaussienne (jaune, rescalee selon Eq.\ref{eq:gtoth}), Sinc (vert)

## Spectre de puissance P(k)

### Forme du spectre

• au ”debut” (inflation) $$P_{m}(k)\propto k$$ car $$\delta_{m}(k)\propto k^{2}\Phi(k)$$, $$<|\Phi(k)|^{2}>=\Delta^{2}_{\Phi}\propto k^{n_{s}-1}\simeq 1$$ et $$P_{\Phi}(k)\propto\dfrac{\Delta^{2}}{k^{3}}$$

• periode RD: en dessous de $$k_{J}$$ modes au-dela de l’horizon $$\to$$ tous les modes amplifies/ au dessus presque pas (en $$\ln k$$) a cause de la radiation

• $$k_{j}=\dfrac{a}{\lambda_{J}}\propto a.H\propto t^{-1/2}$$ durant RD. Donc $$k_{J}(t)$$ $$\searrow$$

• arrive a l’egalite (donc $$k_{eq}$$ plus d’ondes sonores $$\to$$ tout le spectre amplifie

donc $$P(k)\propto k$$ en dessous de $$k_{eq}$$ et $$T^{2}(k).P(k)\propto k^{-3}\ln^{2}k$$ au dessus

dans la cosmo planck:

\begin{align} z_{eq}\simeq 3400 \\ z_{CMB}\simeq 1100 \\ z_{drag}\simeq 1050\\ \end{align}

egalite:

\begin{align} k_{eq}=aH_{eq}=\dfrac{H(z_{eq})}{c(1+z_{eq})}=0.01Mpc^{-1}\\ \end{align}

BAO:
distance comobile parcourue par le son jusqu’au drag ($$z_{d}=1059$$)

\begin{align} s\equiv r_{s}(z_{d})=\dfrac{1}{H_{0}}\int_{z_{d}}^{\infty}c_{s}(z)/E(z)~{}dz=147Mpc\\ \end{align}

Distance comobile au drag: $$\chi(z_{d})=14000Mpc$$ donc $$\theta_{s}=\dfrac{s}{\chi(z_{d})}\simeq 0.6^{\circ}$$

Different de l’echelle causale du CMB:

\begin{align} \theta_{CMB}=\dfrac{c/H_{0}\int_{z_{d}}^{\infty}1/E(z)~{}dz}{\chi(z_{d})}=\dfrac{289}{14000}=1.2^{\circ}\\ \end{align}

la difference vient du facteur $$\sqrt{3}$$ et de $$R(z)$$ dabs $$c_{s}(z)$$

Dans un modele simplifie $$\xi(r)=\delta(r-s)$$ l’impact sur le spectre est

\begin{align} P(k)\propto\int_{0}^{\infty}dr~{}r^{2}\xi(r)sin_{c}(kr)=s^{2}sin_{c}(ks)\\ \end{align}

donc les creux/bosses sont a peu pres situes $$m\pi/(2s)$$ avec m=3,5,7.. (sans neutrinos massifs, lensing …). Une analyse plus fine montre que ce n’est pas exactement le cas.

\label{fig:pklog}Spectre P(k) linaire avec la cosmo planck (sans neutrinos massifs) avec la position de $$k_{eq}$$ et la prevision des creux/pics BAO

\label{pk_peaks}Position des pics BAO une cosmo a $$z=0.8$$ (sans neutrinos massifs, lensing) . En haut on divise par le spectre obtenu avec $$\omega_{b}\simeq 0(0.004)$$: les traits pleins representent la position des maximas et les pointilles les harmoniques de $$s=r_{s}(z_{d})$$. En dessous on essaye de retrouver les maximas en soustrayant un spectre smooth: soit obtenu par spline, soit par la formule ”no_osc” implementee dans SimLSS.

## Evolution en z , facteur de croissance

\begin{align} \delta(k,z) & \propto k^{2}\Phi(k)D(z) & MD \\ & \propto\Phi(k)D(z) & RD\\ \end{align}

avec $$k^{3}<\Phi^{2}(k)>\simeq 1$$ (HZ)on retrouve la forme du $$P(k)$$ et sa dependance en z:

\begin{align} P(k,z)=P(k)D^{2}(z)\\ \end{align}

$$D$$ (=$$G$$!!!) est le (linear) growth factor. Comem durant MD $$D(a)\simeq a$$ mais que $$\Lambda$$ detruit un peu le clustering, on aime bien aussi utiliser

\begin{align} g(a)=\dfrac{\delta_{m}}{a}=\dfrac{D(a)}{a}\\ \end{align}

$$g$$ doit tendre vers 1 dans la MD et vaut $$\simeq 0.8$$ en LCDM aujour’dhui (mais on normalise des fois a 1) Pour LCDM on a (Dodelson)

\begin{align} D(a)=\dfrac{5}{2}\Omega_{m}E(a)\int_{0}^{a}\dfrac{da^{\prime}}{\left(a^{\prime}E(a^{\prime})\right)^{3}}\\ \end{align}

Le (logarithmic) grow rate:

\begin{align} f & =\dfrac{d\ln D}{d\ln a} \\ & \simeq\Omega_{m}(a)^{\gamma}\\ \end{align}

ou $$\gamma$$ est le growth index.. Attention ici

\begin{align} \Omega_{m}(a)=\Omega_{m}a^{-3}/E^{2}(a)\\ \end{align}

Pour la GR $$\gamma\simeq 0.55$$ et est assez independant des parametres. donc

\begin{align} g(a)=e^{\int_{0}^{a}da/a[\Omega_{m}(a)^{\gamma}-1]}\\ \end{align}

Comme en MD $$D(z)\propto\dfrac{1}{1+z}$$ , $$f$$ est de l’ordre de 1

\label{fig:pkz}Evolution de P(k,z) pour la cosmo planck avec $$\Omega_{m}=0.31$$. On a $$P(k,z)=\left(\dfrac{D(z)}{D(0)}\right)^{2}P(k)$$. C’est aussi $$\left(\dfrac{\sigma_{8}(z)}{\sigma_{8}(z=0)}\right)^{2}$$. La ligne pointillee represente $$1/(1+z)^{2}$$

\label{fig:gz}Evolution du growth factor sans la dependance en redshift, donc $$g^{2}(z)=(1+z)^{2}D^{2}(z)$$ pour cosmo planck. Il tend vers 1 quand on arrive dans le regime MD.

\label{fig:fz}Evolution du growth rate en cosmo Planck (formule de Linder)

Avec cosmo planck (par class sans neutrinos massifs)

z $$\sigma_{8}$$ f f$$\sigma_{8}$$
0 0.83 0.52 0.43
0.5 0.64 0.75 0.48
1 0.51 0.87 0.44
1.5 0.42 0.93 0.39
2 0.35 0.96 0.34

Pour les grands $$z$$ , $$f\rightarrow 1$$ et $$\sigma_{8}(z)/\sigma_{8}(0)\rightarrow\dfrac{1}{1+z}$$

## Effet des neutrinos massifs

\begin{align} \Omega_{\nu}h^{2} & =\dfrac{m_{\nu}(eV)}{93.14} \\ f_{\nu} & =\dfrac{\Omega_{\nu}h^{2}}{\Omega_{M}h^{2}}\simeq\dfrac{m_{\nu}}{12}\\ \end{align}

Transition NR

\begin{align} 1+z_{NR}=1800m_{\nu}(eV)\\ \end{align} \begin{align} \dfrac{P(k)^{\nu}}{P(k)^{f\nu=0}}\simeq-8f_{\nu}\\ \end{align}

## Spectre non lineaire

\label{fig:pknl}spectre lineaires (pontilles) et NL (halofit) selon cosmo planck (avec neutrinos massifs). boite=redshifts