Matrizes de rotação, como \(R_1\), \(R_2\) e \(R_3\), possuem propriedades especiais:
- Duas rotações sucessivas formam, também, uma rotação.
- Existe a transformação que consiste na rotação com ângulo zero. Esta matriz é a matriz identidade em três dimensões.
- Matrizes de rotação são ortogonais, ou seja, \(RR^T=R^TR=\mathbf{1}_3\);
- Existe a matriz de rotação inversa, que consiste na matriz em que o ângulo muda de sentido, por exemplo, \(\theta\rightarrow-\theta\) em (\ref{20}). Em razão da propriedade de ortogonalidade, temos \(R^{-1}=R^T\).
- Um matriz de rotação tem determinante unitário, ou seja, \(\det R=1\).
- Duas rotações sucessivas são não comutativas. Por exemplo, \(R_2R_1\neq R_1R_2\).
Com essas propriedades, o conjunto de todas as matrizes de rotação formam um grupo não abeliano, o grupo ortogonal especial tridimensional, representado pelo símbolo \(SO(3)\).
Qualquer rotação em \(\mathbb{R}^3\) pode ser composta pelo produto de três rotações sob certas propriedades. Este é o caso de \(R_1\), \(R_2\) e \(R_3\). Assim, esta representação da matriz geral de rotação tem três ângulos. O produto em si é dado por